Linhas de Pesquisa em Geometria Diferencial
Não-existência e unicidade de imersões Riemannianas imersas em variedades Riemannianas ou Lorentzianas munidas com um campo de vetores conforme fechado globalmente definido.
Descrição: Aqui temos como objetivo procurar condições suficientes para que uma imersão com curvatura média constante, ou com curvatura escalar constante, ou com alguma curvatura de ordem superior constante, ou com alguma relação linear entre elas, esteja contida em uma subvariedade totalmente umbílica, ou em uma subvariedade totalmente geodésica, em uma uma folha integral da distribuição de campos de vetores ortogonais ao campo de vetores conforme fechado do espaço ambiente. Em particular, pretendemos obter nossos resultados via o estudo da geometria extrínseca e intrínseca de subvariedades completas imersas em um produto warped que admite, de forma natural, um campo de vetores conforme fechado globalmente definido. Pretendemos também colocar uma função peso no espaço ambiente e tentar obter resultados para imersões com curvatura média ponderada constante.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.
Não-existência e unicidade de subvariedades completas Weingarten lineares imersas em espaços localmente simétricos Riemannianos ou Lorentzianas.
Descrição: Aqui pretendemos estabelecer novas caracterizações para uma classe de subvariedades completas Weingartens lineares imersas em espaços semi-Riemannianos localmente simétricos, desde que um conjunto de restrições na curvatura seccional do ambiente em direções tangentes ou normais à subvariedade sejam considerados. Nossa abordagem será baseada na obtenção de fórmulas tipo-Simons apropriadas juntamente com a aplicação de princípios do máximo generalizados correspondentes a um operador do tipo Chen-Yau.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.
Estudo da geometria de subvariedades trapped e marginally trapped imersas em variedades conformemente estacionárias.
Descrição: Nosso propósito é estudar a geometria de subvariedades trapped e marginally trapped imersas com vetor curvatura média paralelo em variedades conformemente estacionárias. Nesse sentido, pretendemos estabelecer condições suficientes para garantir que uma subvariedade trapped completa com vetor curvatura média paralelo seja pseudo-umbílica ou, de um modo mais geral, totalmente umbílica. Pretendemos também obter resultados de existência referentes à subvariedades marginally trapped. Quando o ambiente é um espaço-tempo estático padrão, investigaremos novos resultados de rigidez e existência para subvariedades weakly trapped.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.
Caracterizações de subvariedades completas Weingarten lineares imersas em variedades Einstein.
Descrição: Pretendemos estabelecer novas caracterizações de subvariedades completas Weingartens lineares em variedades Einstein, obedecendo certas restrições de curvatura. Mais precisamente, impondo controles adequados à curvatura escalar, desejamos obter resultados no sentido de garantir que uma subvariedade completa Weingarten linear imersa numa variedade Einstein seja totalmente umbílica ou isométrica a uma hipersuperfície isoparamétrica deste ambiente. Nossa abordagem será baseada na obtenção de fórmulas tipo-Simons apropriadas juntamente com a aplicação de princípios do máximo generalizados correspondentes a operadores do tipo Chen-Yau.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.
Rigidez de hipersuperfícies tipo-espaço imersas num espaço-tempo de Robertson-Walker generalizado ou num espaço-tempo estático padrão via propriedades das curvaturas de ordem superior.
Descrição: Pretendemos investigar a rigidez de hipersuperfícies tipo-espaço completas e/ou estocasticamente completas imersas num espaço-tempo de Robertson-Walker generalizado ou espaço-tempo estático padrão, obedecendo à condição de convergência tipo-tempo ou tipo-luz, via propriedades das curvaturas de ordem superior de tais hipersuperfícies. Daremos também atenção especial ao estudo das hipersuperfícies máximas tentando estabelecer novos resultados do tipo Calabi-Bernstein.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.
Linhas de Pesquisa em Análise Geométrica
Não-existência e unicidade de hipersuperfícies tipo-espaço não-compactas imersas em um espaço-tempo pp-wave munido com um campo de vetores tipo-luz paralelo.
Descrição: Aqui com ajuda de alguns princípios de máximo generalizados para variedades Riemannianas completas não-compactas, pretendemos obter algumas condições suficientes que nos permita afirmar o quanto una hipersuperfície tipo-espaço imersa em um espaço-tempo pp-wave está perto ou de uma totalmente geodésica, ou de uma máxima, ou de uma 1-máxima, ou de uma r-máxima. Também pretendemos fazer um estudo geométrico no crescimento do volume e no comportamento no infinito de uma hipersuperfície tipo-espaço completa não-compacta imersa em um espaço-tempo pp-wave. Por último, nestes ambientes, pretendemos estudar os sólitons tipo-espaço relativos alguns fluxos geométricos, como por exemplo, os solitons tipo-espaço pelo fluxo da curvatura média.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.
Rigidez e bifurcação de hipersuperfícies com curvatura escalar constante, ou com alguma curvatura de ordem superior constante, ou com alguma relação linear entre elas, imersas em variedades Riemannianas.
Descrição: Especificamente, dada uma família F de hipersuperfícies com curvatura escalar constante, ou com alguma curvatura de ordem superior constante, ou com alguma relação linear entre elas, imersas em um produto warped com base I (um intervalo da reta real com índice zero ou um), fibra Riemanniana M e função warped f, pretendemos obter condições suficientes, em termos de f e do espectro de operadores diferenciais de segunda ordem definidos na fibra Riemanniana M, que nós permita garantir quando F é localmente rígida ou quando F admite instantes de bifurcação. Pretendemos também colocar uma função peso no espaço ambiente e tentar obter resultados de rigidez local e bifurcação para hipersuperfícies com curvatura média ponderada constante.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.
Solitons do fluxo da curvatura média em espaços semi-Riemannianos.
Descrição: Nosso intuito é, através da aplicação de diversos princípios do máximo, investigar sobre a estabilidade, unicidade, rigidez e não-existência de solitons do fluxo da curvatura média (de codimensão 1 e também de codimensão mais alta) tanto no contexto de produtos warped Riemannianos, quanto em produtos Lorentzianos, como o espaço-tempo GRW ou o espaço-tempo estático padrão. Neste contexto, também pretendemos estabelecer novos resultados do tipo Calabi-Bernstein em relação à equação da curvatura média de tais solitons.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.
Resultados de caracterização e trivialidade de solitons gradiente conformes.
Descrição: Iremos investigar a geometria de solitons gradiente conformes completos e estocasticamente completos, os quais correspondem a extensões naturais de solitons Yamabe gradiente, solitons $k$-Yamabe gradiente, solitons Yamabe quase gradiente e solitons Yamabe $h$-quasi gradiente. Sob certas hipóteses apropriadas na função potencial, pretendemos obter novos resultados de caracterização e trivialidade via aplicação de diversos princípios do máximo generalizados adequados e esse contexto.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.
Estabilidade, parabolicidade e rigidez de hipersuperfícies imersas numa variedade semi-Riemanniana com densidade.
Descrição: Através do cálculo do drift-Laplaciano de funções suportes adequadas, juntamente com a aplicação de princípios do máximo generalizados apropriados, pretendemos obter novos resultados de estabilidade e rigidez para hipersuperfícies completas imersas em uma variedade semi-Riemanniana com densidade cujo tensor de Bakry-Émery Ricci satisfaz alguma restrição adequada. Em especial, trataremos estas questões em um ambiente conformemente estacionário com densidade.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.
Estabilidade e rigidez de imersões no espaço Euclidiano via curvaturas médias anisotrópicas de ordem superior.
Descrição: Nesta temática, nos propomos a estudar a estabilidade e rigidez de imersões no espaço Euclidiano via propriedades das curvaturas médias anisotrópicas de ordem superior da imersão, as quais correspondem à generalização de tais curvaturas médias usuais. No caso da estabilidade, assumindo controles apropriados nas curvaturas médias anisotrópicas, vislumbramos mostrar que uma tal hipersuperfície fechada é estável se, e somente se, a menos de translações e homotetias, é a Wulff shape associada ao problema de estabilidade estudado. Já no caso da rigidez, sob restrições geométricas adequadas nas funções ângulo e altura, pretendemos mostrar que uma tal hipersuperfície completa deve ser isométrica a um hiperplano.
Equipe: Henrique Fernandes de Lima, Marco Antonio Lazaro Velásquez e Weiller Felipe Chaves Barboza.